怎么样计算等腰三角形的面积 应该怎么做?

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责任编辑:王嘉善
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在本文中:通过边长计算面积使用三角学

等腰三角形是有两条边边长相等的三角形。这两条等边与底边所成的角度相等,且交点位于底边中点的正上方。你可以用直尺和两支长度一样的铅笔来做试验:如果你试着把三角形向任意方向倾斜,铅笔笔尖就无法相交。等腰三角形这些特别的属性让你只需要几条信息就能计算出其面积。

1通过边长计算面积

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 1为标题的图片

1复习平行四边形的面积计算。任何有两组平行边的四边形都是平行四边形,包括正方形和矩形。所有平行四边形都有一个简单的面积公式:面积等于底乘以高,即A = bh[1]如果将平行四边形平放在水平面上,则底边是接触水平面的那条边。顾名思义,高则是其离地面的高度,即底边到对边的距离。测量时,高应该与底边成90度直角。

对于正方形和矩形,高就等于垂直边的长度,因为这些边与地面成直角。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 2为标题的图片

2比较三角形和平行四边形。这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半,我们就得到了两个相同的三角形。反之,如果有两个相同的三角形,你可以将它们组合到一起,得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ?bh,即对应的平行四边形面积的一半。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 3为标题的图片

3找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了,但在等腰三角形中,到底什么是“底”,什么是“高”呢?底比较好理解,直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。

例如,如果等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm,则6 cm的那条边就是底边。

如果三角形的三条边边长都相等,即该三角形是等边三角形,那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形,但你可以用相同的方法来计算其面积。[2]

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 4为标题的图片

4在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高,我们以“h”指代。算出“h”的值后,你就能求出面积。

在等腰三角形中,这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 5为标题的图片

5看看等腰三角形的半边。注意,是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个,确定三条边:

一条直角边的边长等于底边的一半:b2{\displaystyle {\frac {b}{2}}}

另一条直角边是高“h”。

直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为“s”。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 6为标题的图片

6使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度,你就能用勾股定理算出第三条边的长度:(边1)2 + (边2)2 = (斜边)2,将我们在此问题中使用的变量代入进去,得到(b2)2+h2=s2{\displaystyle ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}.

你可能已经学过勾股定理,公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}。用“边”和“斜边”来代替a、b、c,可以防止与之前的三角形变量相混淆。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 7为标题的图片

7求出“h”。记住,面积公式用要用到“b”和“h”,但你还不知道“h”值。将公式变形,求出“h”:

(b2)2+h2=s2{\displaystyle ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}

h2=s2?(b2)2{\displaystyle h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}}

h=(s2?(b2)2){\displaystyle h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})}

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 8为标题的图片

8将三角形的值代入进去,求出“h”。知道这个公式后,你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入“b”,将腰的长度代入“s”,然后就能算出“h”的值。

例如,等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm,则“b”= 6,而“s”= 5。

将这些值代入公式:

h=(s2?(b2)2){\displaystyle h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})}

h=(52?(62)2){\displaystyle h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})}

h=(25?32){\displaystyle h={\sqrt {(}}25-3^{2})}

h=(25?9){\displaystyle h={\sqrt {(}}25-9)}

h=(16){\displaystyle h={\sqrt {(}}16)}

h=4{\displaystyle h=4} cm。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 9为标题的图片

9在面积公式中代入底和高。知道这些值后,你就可以使用本节开头的公式了:面积 = ?bh。将你已知的b和h值代入到本公式中,计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。

这里仍然使用以上示例,边长为5-5-6的三角形底长为6 cm,高为4 cm。

A = ?bh

A = ?(6cm)(4cm)

A = 12cm2

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 10为标题的图片

10试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根,无法被简化为整数。如果出现这种情况,可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例:

求边长分别为8 cm、8 cm和4 cm的三角形的面积。

将边长为4 cm、与其他边的边长不相等的那条边当做“b”。

h=82?(42)2{\displaystyle h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}}

=64?4{\displaystyle ={\sqrt {64-4}}}

=60{\displaystyle ={\sqrt {60}}}

分解因数来简化平方根:h=60=4?15=415=215{\displaystyle h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}}

面积 =12bh{\displaystyle ={\frac {1}{2}}bh}

=12(4)(215){\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})}

=415{\displaystyle =4{\sqrt {15}}}

答案写成这个样子就可以了,你也可以在计算器中输入这个值,求出一个近似的小数,即约15.49平方厘米。

2使用三角学

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 11为标题的图片

1从一条边和一个角开始。如果学过三角学,那么即使不知道等腰三角形某一条边的长度,你也可以算出它的面积。这里有一道例题,你只知道以下条件:[3]

腰的长度“s”为10 cm。

两条腰所成的夹角θ等于120度。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 12为标题的图片

2将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点,向底边画一条垂直于底边的线段。这样,你就得到了两个相同的直角三角形。

这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于?θ,而在本例中,(?)(120) = 60度。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 13为标题的图片

3使用三角学,算出“h”的值。由于得到的是直角三角形,所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中,你知道斜边,想算出与已知角的邻边“h”的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边,我们可以利用已知角求出“h”:

cos(θ/2) = h / s

cos(60o) = h / 10

h = 10cos(60o)

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 14为标题的图片

4算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中,还有一条边的长度是我们未知的,你可以将它设为“x”。因为正弦 = 对边 / 斜边,所以:

sin(θ/2) = x / s

sin(60o) = x / 10

x = 10sin(60o)

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 15为标题的图片

5将x与等腰三角形的底边关联起来。现在你可以将关注的对象“扩大到”整个等腰三角形。由于底边“b”被分为两段,每段长度均为“x”,所以“b”等于2倍的“x”。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 16为标题的图片

6将你算出的“h”值和“b”值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后,你可以使用标准公式A = ?bh:

A=12bh{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}

=12(2x)(10cos60){\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)}

=(10sin60)(10cos60){\displaystyle =(10sin60)(10cos60)}

=100sin(60)cos(60){\displaystyle =100sin(60)cos(60)}

你可以使用计算器的角度计算,将结果输入到计算器中,这样算出来的答案是约等于43.3平方厘米。或者,你可以应用三角函数的特性,将之简化为A = 50sin(120o)。

以Find the Area of an Isosceles Triangle Step 17为标题的图片

7将这种计算方法变成通用公式。知道解答过程后,你可以使用通用公式,而不必每次都完成整个推导和计算过程。如果你不使用任何具体值,重复这一计算过程,并应用三角函数的特性,最终可以得到结果:[4]

A=12s2sinθ{\displaystyle A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta }

s是腰的长度。

θ是两条腰的夹角。

小提示

如果你面对的是有两条等边和一个直角的等腰直角三角形,其面积计算会简单得多。你可以用一条直角边做底,另一条直角边做高。这时,公式A = ? b * h可以简化为?s2,其中s是直角边的长度。

平方根有两个解,一个正数,一个负数,在几何问题中,你可以忽略掉负数解。因为没有任何三角形会有“负数高”。

某些三角学问题提供的初始条件可能有所不同,比如告诉你等腰三角形底边的长度和一个角的角度。基本方法是一样的:将等腰三角形分成直角三角形,然后利用三角函数解出高度值。

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