怎么样对二项式进行因式分解 应该怎么做?

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责任编辑:鲁能
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在本文中:对二项式进行因式分解分解二项式来解方程处理更复杂的问题

在代数中,二项式是以加号或减号相连的二项表达式,例如ax+b{\displaystyle ax+b}。第一项必定包含一个变量,而第二项则不一定。对二项式做因式分解指的是将二项式分解成更简单的项,这些项相乘后可以得到该二项式,因式分解可以简化二项式,为进一步使用做好准备。

部分 1对二项式进行因式分解

以Factor Binomials Step 1为标题的图片

1回顾因数分解的基础知识。因数分解是将一个大数分解成几个最简单的可除部分。每个部分被称为“因数”。例如,数字6可以被分解为四个不同的数字:1、2、3和6。因此,6的因数有1、2、3、6。

32的因数有1、2、4、8、16、32。

数字“1”和你分解的数字本身必定是因数。因此,像3这样的小数字的因数只有1和3。

因数只包括可以整除的数字,即“整数”。你可以用3.564或21.4952去除32,但它们不构成32的因数,仅仅是一个小数。

以Factor Binomials Step 2为标题的图片

2将二项式的各项放到合适位置,使之便于一目了然。二项式是两个数字在做加法或减法,其中至少一个数字含有一个变量。有时,变量会有指数,如x2{\displaystyle x^{2}}5y4{\displaystyle 5y^{4}}。分解二项式时,你可以先按变量升序来重新排列方程式,即将指数最大的项放到最后。例如:

3t+6{\displaystyle 3t+6}6+3t{\displaystyle 6+3t}

3x4+9x2{\displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}9x2+3x4{\displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}

x2?2{\displaystyle x^{2}-2}?2+x2{\displaystyle -2+x^{2}}

注意,2前面的负号在重新排序后得到了保留。如果项是减数,重新排序时请保留前面的负号。

以Factor Binomials Step 3为标题的图片

3找到两项的最大公因数。这意味着你要找到能同时整除二项式两项的最大数字。如果觉得很难,只要分别将两个数字因数分解,然后找到最大的匹配数字即可。例如:

练习题:3t+6{\displaystyle 3t+6}

3的因数:1,3

6的因数:1, 2, 3, 6。

最大公因数为3。

以Factor Binomials Step 4为标题的图片

4两项分别除以最大公因数。知道公因数后,你需要将它从各项中约去。但是请注意,你要做的只是将各项分解,对它们做简单的除法。如果你找到的最大公因数是正确的,那么两项都会有这个因数:

练习题:3t+6{\displaystyle 3t+6}

求最大公因数:3

从两项中约去因数:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}

以Factor Binomials Step 5为标题的图片

5最后,用因数乘以所得表达式。在上一道练习题中,你约去3之后,得到t+2{\displaystyle t+2}。但是,约去3只是为了简化问题,并不是说问题与3不再有任何关系。你不能让一个数字凭空消失,它必须重新出现在表达式中!最后,用因数乘以表达式。例如:

练习题:3t+6{\displaystyle 3t+6}

求最大公因数:3

从两项中约去因数:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}

用因数乘以新表达式:3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}

因式分解后的最终答案:3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}

以Factor Binomials Step 6为标题的图片

6用因数乘以括号内的各项,看结果是否等于初始方程式。如果每一步都正确,那么检查结果是否正确就很简单了。用因数乘以括号内的各项即可。如果所得结果与初始的未分解二项式一样,说明因式分解是正确的。写下分解表达式12t+18{\displaystyle 12t+18}的全过程,来练习因式分解:

重新排列两项的顺序:18+12t{\displaystyle 18+12t}

找出最大公因数:6{\displaystyle 6}

从两项中约去因数:18t6+12t6=3+2t{\displaystyle {\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t}

用因数乘以新表达式:6(3+2t){\displaystyle 6(3+2t)}

检查答案:(6?3)+(6?2t)=18+12t{\displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}

部分 2分解二项式来解方程

以Factor Binomials Step 7为标题的图片

1使用因式分解来简化方程,使之更容易求解。解含有二项式的方程,尤其是含有复杂二项式的方程时,可能看上去没办法找到所有项的公因数。例如,试着解5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}。对于这类方程,尤其是带指数的方程,一种解法是先做因式分解。

练习题:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

记住,二项式必须只包含两项。如果项数多于二,你就必须用到解多项式的相关知识。

以Factor Binomials Step 8为标题的图片

2做加法或减法,让方程式的一边等于零。这种方法完全依赖于数学中最基本的事实之一:任何数乘以零都等于零。所以,如果方程式等于零,那么因式项之一必定等于零。首先,做加减法让一边等于零。

练习题:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:5y?2y2+3y=?3y+3y{\displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}

8y?2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}

以Factor Binomials Step 9为标题的图片

3像平时那样,对方程式不为零的那一边做因式分解。在这一步中,你可以当方程式的另一边不存在。找到最大公因式,用它去除方程式,得到分解后的表达式。

练习题:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:8y?2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}

因式分解:2y(4?y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}

以Factor Binomials Step 10为标题的图片

4设括号内和括号外的因式等于零。练习题中,表达式可写为2y乘以4 - y,结果等于零。由于任何数乘以零都等于零,这意味着2y或4-y等于0。生成两个单独的方程,求出使它们等于零的y值。

练习题:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:8y?2y2+3y=0{\displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}

因式分解:2y(4?y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}

设两个因式等于0:

2y=0{\displaystyle 2y=0}

4?y=0{\displaystyle 4-y=0}

以Factor Binomials Step 11为标题的图片

5解这两个等于零的方程,得到最终答案。答案可能有一个或多个。记住,只要一个因式等于零就能让方程成立,所以同一个方程式的解可能有几个不同的y值。解练习题的最后步骤:

2y=0{\displaystyle 2y=0}

2y2=02{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}}

y = 0

4?y=0{\displaystyle 4-y=0}

4?y+y=0+y{\displaystyle 4-y+y=0+y}

y = 4

以Factor Binomials Step 12为标题的图片

6将答案代入到原方程式中,看是否正确。如果你得到的y值是正确的,那么它们应该能使方程成立。如下文所示,验算非常简单,将每个值代入到变量中即可。由于答案是y = 0和y = 4:

5(0)?2(0)2=?3(0){\displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}

0+0=0{\displaystyle 0+0=0}

0=0{\displaystyle 0=0} 所以,这个答案是正确的

5(4)?2(4)2=?3(4){\displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}

20?32=?12{\displaystyle 20-32=-12}

?12=?12{\displaystyle -12=-12} 所以,这个答案也是正确的。

部分 3处理更复杂的问题

以Factor Binomials Step 13为标题的图片

1记住,变量,甚至是带指数的变量,都算作因式。记住,因式分解是找出能够整除方程式的因式。表达式x4{\displaystyle x^{4}}x?x?x?x{\displaystyle x*x*x*x}的另一种写法。这意味着如果其他项也含有x,那么你可以使用x来进行因式分解。你应该将变量视为普通的数字。例如:

由于两项都包含t,所以2t+t2{\displaystyle 2t+t^{2}}可被因式分解,分解后的答案等于t(2+t){\displaystyle t(2+t)}

你甚至可以一次提取多个变量。例如,在x2+x4{\displaystyle x^{2}+x^{4}}中,两项都包含相同的x2{\displaystyle x^{2}}。你可以将之分解为x2(1+x2){\displaystyle x^{2}(1+x^{2})}

以Factor Binomials Step 14为标题的图片

2合并同类项,将未简化的二项式转化为二项式形式。以表达式6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}为例,它看上去有四项,但细看后你会发现,实际上只有两项。你可以合并同类项,由于6和14都没有变量,而2x和3x拥有相同的变量,所以它们都可以互相合并。之后的因式分解就很简单了:

初始问题:6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}

重新排列各项:2x+3x+14+6{\displaystyle 2x+3x+14+6}

合并同类项:5x+20{\displaystyle 5x+20}

求最大公因数:5(x)+5(4){\displaystyle 5(x)+5(4)}

因式分解:5(x+4){\displaystyle 5(x+4)}

以Factor Binomials Step 15为标题的图片

3识别特殊的“完全平方差”。完全平方数指的是平方根是一个整数的数字,例如9{\displaystyle 9}等于3?3{\displaystyle 3*3}x2{\displaystyle x^{2}}等于x?x{\displaystyle x*x},甚至144t2{\displaystyle 144t^{2}}也是完全平方数,因为它等于12t?12t{\displaystyle 12t*12t}。如果二项式是两个完全平方数(式)的减法问题,如a2?b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}},那么你只需要将它们代入到以下公式即可:

完全平方差公式:a2?b2=(a+b)(a?b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

练习题:4x2?9{\displaystyle 4x^{2}-9}

求平方根

4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}

9=3{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}

将平方代入到公式中:4x2?9=(2x+3)(2x?3){\displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}[1]

以Factor Binomials Step 16为标题的图片

4学会分解“完全立方差公式”。和完全平方一样,两个立方项相减时,也有一个简单的公式。例如,a3?b3{\displaystyle a^{3}-b^{3}}。和之前一样,你只用求出各项的立方根,然后将它们代入到公式中即可:

完全立方差公式:a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2){\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}

练习题:8x3?27{\displaystyle 8x^{3}-27}

求立方根:

8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}

273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}

将立方代入到公式中:8x3?27=(2x?3)(4x2+6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}[2]

以Factor Binomials Step 17为标题的图片

5知道完美立方和也有一个公式。和完美平方差不同,你可以用一个简单的公式,轻松地分解a3+b3{\displaystyle a^{3}+b^{3}}这样的立方和表达式。它和立方差公式几乎相同,只是加减号略有区别。这个公式写出来和其他两个公式一样简单,你需要认出题目中的两个立方项,然后套用公式就可以了:

完全立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}

练习题:8x3?27{\displaystyle 8x^{3}-27}

求立方根:

8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}

273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}

将立方代入到公式中:8x3?27=(2x+3)(4x2?6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}[3]

小提示

并非所有二项式都有公因数(式)!有些二项式已经是最简形式。

如果你不确定是否有公因数(式),可以先用更小的数(式)去除。例如,如果你不知道16是32和16的公因数,可以先用2除这两个数。你会得到16和8,它们还可以被8整除。除完后你会得到2和1,它们是最小因数。显然,32和16有一个大于8和2的公因数。

注意,x6这样的6次方既是完全平方式,‘’又是’’完全立方式。因此,你可以对x6 - 64这样的完全六次方二项式使用前文所述的两种特殊公式,使用顺序随意。但是,你会发现,先用完全平方差公式会比较简单,因为这样你能更彻底地分解二项式。

警告

完全平方和二项式无法被因式分解。

参考

↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/av6/Lfactps.htm↑ http://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm↑ http://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm

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