怎么样求3X3矩阵的行列式 应该怎么做?

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在本文中:求行列式简化问题10 参考

矩阵的行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑,但是你做过几次后,就会变得简单了。

部分 1求行列式

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 1为标题的图片

1写出3×3矩阵。我们从3x3矩阵A开始,试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法,以及示例矩阵:[1]

M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 2为标题的图片

2选择单行或单列。这将是引用行或列。不管你选哪一行或列,结果都是一样的。现在,只选择第一行。稍后,我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。[2]

我们选择示例矩阵A的第一行,圈出1 5 3。一般来说,圈出11 a12 a13

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 3为标题的图片

3划掉第一个元素的行和列。查看圈出的行或列,并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。[3]

在本例中,引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵

?1? 5 3

?2? 4 1

?4? 6 2

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 4为标题的图片

4求出2x2矩阵的行列式。记住,这个矩阵(abcd){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}

有展开式为ad - bc的行列式。你可以通过在2×2矩阵上画一个X来学习这种方法。将X中\连接的两个数字相乘,然后减去/连接的两个数字的乘积。用这个公式计算你刚找出的矩阵的行列式。[4]

在本例中,矩阵的行列式为(4762){\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}}

= 4 * 2 - 7 * 6 = -34

这个行列式叫做原始矩阵中所选的元素的余子式[5]在本例中,我们刚找出了a11的余子式。

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 5为标题的图片

5将结果乘以你选择的元素。记住,当你决定划去哪一行和哪一列时,是从引用行(或列)中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。[6]

在本例中,我们选择了a11,值为1。将它乘以-34(2x2矩阵的行列式),得到1*-34 = -34

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 6为标题的图片

6确定答案的正负号。接下来,将答案乘以1或-1来得到所选元素的代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正,哪个元素是负:

+ - +

- + -

+ - +

由于我们选择了a11,用a +标记,将结果乘以1。(也就是说,不用管它)。答案还是-34

或者,你可以用公式(-1)i+j来计算正负号,其中ij是该元素的行数和列数。[7]

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 7为标题的图片

7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。返回到初始的3x3矩阵,包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程:[8]

划掉这个元素所在的行和列。在本例中,选择元素a12(值为5)。划掉第一行(1 5 3)和第二列(546){\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}

将剩余元素当作一个2x2矩阵。在本例中,矩阵为(2742){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}

求出这个2x2矩阵的行列式。使用ad - bc公式。(2*2 - 7*4 = -24)

乘以3x3矩阵中选定的元素。 -24 * 5 = -120

确定是否乘以-1。使用正负号表或(-1)ij公式。我们选择了元素a12,在正负号表中为负。因此要将更改结果的正负号:(-1)*(-120) = 120

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 8为标题的图片

8对于三个元素重复这个操作。你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中,下面是计算a13余子式的简要描述:

划掉第1行和第3列,得到(2446){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}

它的行列式为2*6 - 4*4 = -4。

乘以元素a13:-4 * 3 = -12。

元素a13在正负号表中为正,所以结果是-12

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 9为标题的图片

9将三个结果加起来。这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式,每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来,你就得到了3x3矩阵的行列式。

在本例中,行列式为-34 + 120 + -12 = 74

部分 2简化问题

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 10为标题的图片

1选择0最多的引用行或列。记住,你可以选择任意行或列作为引用。不管你选哪一个,结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列,只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下:[9]

假设你选择第2行,包含元素a21、a2223。要解决这个问题,我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21、A22和A23

3x3矩阵的行列式是a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|。

如果a22和a23都为0,公式就变成a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 11为标题的图片

2利用行加法使矩阵更简单。如果你把一行的值加到另一行,矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作——或者在加之前将值乘以一个常数——从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。

例如,假设你有一个3×3的矩阵:(9?1231075?2){\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}

为了消掉a11上的9,我们可以把第二行乘以-3然后把结果加到第一行。新的第一行就变成[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]。

新矩阵就变成(0?4231075?2){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}

。尝试对列使用同样的方法,将a12也变成0。

以Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 12为标题的图片

3学习三角矩阵的快捷方法。在这些特殊情况下,行列式就是主对角线上的元素的乘积,从左上角的a11到右下角的a33。我们讨论的仍然是3x3矩阵,但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式:[10]

上三角矩阵:所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。

下三角矩阵:所有非零元素都在主对角上或主对角之下。

对角矩阵:所有非零元素都在主对角上。(上述矩阵的一个子集)

小提示

如果有一行或列的所有元素都是0,那么这个矩阵的行列式就是0。

这种方法可以扩展到任何大小的方阵。例如,如果将这种方法用于4x4矩阵,“划掉”后将得到一个3x3矩阵,你可以按照上面的描述计算行列式。但是提醒一句,手动计算非常繁琐!

参考

↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-determinant.html↑ https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/deter/deter.html↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html↑ https://www.purplemath.com/modules/minors.htm↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices9-2009-1.pdf↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf↑ http://mathonline.wikidot.com/triangular-matrices显示 更多... (1)

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